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北大高微讲义第3章 成本最小化_图文

发布时间:

第二部分 生产与成本
? 第一章 关于技术的描述 ? 第二章 利润最大化 ? 第三章 成本最小化 ? 第四章 对偶性

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第三章 成本最小化
? 3.1 成本最小化 ? 3.2 条件要素需求函数和成本函数

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3.1 成本最小化
? 成本最小化模型

令 :

要素价格向量 w 给定 生产 函数 y = f (x) 给定

且产量 y 给定 则有 M in
x

wx

s .t . f (x) = y w , y为 常 数 L ( x , λ ) = w x + λ ( y ? f ( x ))

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3.1 成本最小化
? 成本最小化模型

一、一阶条件
FOC : ?f ( x ) ? ?L = w?λ =0 ? ?x i ? ?x i ? ? ?L = y ? f ( x ) = 0 ? ? ?λ

i = 1,2,L n

? ?f ( x ) = wi ?λ ? ? ?x i ? f ( x) = y ?
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i = 1, 2 L n

? λ Df ( x ) = w 或者 ? ? f ( x) = y

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3.1 成本最小化
? 经济含义 由 FOC 可得:
( 1) MRTS i , j = wj wi

wi 其中, 表示任意两种要素在市场上的客观交换比例, wj 取决于要素的均衡价格。 MRTS i , j = ? dx j dx i 表示任意两种要素在生产中的替代比例,

取决于厂商自身的技术。 ?f ( x ) / ?xi ?f ( x ) / ?x j ( 2) = wi wj
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3.1 成本最小化
二、二阶条件
? SOC之一:由图形得到的启示

key: 要求生产函数为凹函数。
令 : 保持最小成本不变的一个微小的要素组合变动为 ( h1 , h2 ), 即 : w1h1 + w2 h2 = 0 首先,利用一阶条件有:w1h1 + w2 h2 = λ f1h1 + λ f 2 h2 =λ (f1h1 + λ f 2 h2 ) =0 ? h1 ? ? ( f1 , f 2 ) ? ? = 0 ? h2 ?
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? SOC之一

然后,考虑变动以后生产函数f ( x1 + h1 , x2 + h2 ) 在均衡点( x1 , x2 )的泰勒展式, 有 : ?f ?f f ( x1 + h1 , x2 + h2 ) ≈ f ( x1 , x2 ) + h1 + h2 ?x1 ?x2 1 ?2 f 2 ?2 f ?2 f 2 + ( 2 h1 + 2 h1h2 + 2 h2 ) 2 ?x1 ?x1 x2 ?x2

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? SOC之一

写成矩阵形式为: ? h1 ? f ( x1 + h1 , x2 + h2 ) ≈ f ( x1 , x2 ) + ( f1 , f 2 ) ? ? ? h2 ? ? f11 f12 ? ? h1 ? 1 + (h1 , h2 ) ? ?? ? 2 ? f 21 f 22 ? ? h2 ? 由于是由均衡点出发沿等成本线移动,故必有 f ( x1 + h1 , x2 + h2 ) ≤ f ( x1 , x2 ) 这意味着 hD 2 f ( x )ht ≤ 0 即:对于所有满足w ? h = 0 的 h, 有hD 2 f ( x )ht ≤ 0成立。 ? 生产函数 f ( ? ) 为凹函数
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3.1 成本最小化
二、二阶条件 ? SOC之二:要求拉格朗日函数的 L11 L13 ? λ f11 ? f1 = <0 L31 L33 ? f1 0
L11 L21 L31 LL L12 L22 L32 L13 L33 ? λ f11 ? f1 ? λ f12 ? λ f 22 ? f2
?H ? ? ? 为正定。

? f1 ? f2 = ?λ H < 0 0

L23 = ? λ f 21

只要生产函数为正则严格凹函数,则SOC得到 9 2011-11-23 满足。

3.1 成本最小化
三、方法的注意点
? 当生产函数不是连续可微,上述微分方法不适用 ? 以上微分法的FOC仅对内点解适用,若出现边界

解要修正。
? 利润最大化的唯一最优解可能不存在,但成本最

小化问题下一般不会有这种情况。

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第三章 成本最小化
? 3.1 成本最小化 ? 3.2 条件要素需求函数和成本函数

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3.2 条件要素需求函数和成本函数
? 引:成本最小化最优解的的两种函数形式
Min
x

wx f ( x) = y

s .t .

若 FOC 和 SOC 成 立 ,则可 从 FOC 中 求出 最 优解 , 最 优 要素 投入 素组合 : x ( w, y ) 即条件要素 需求 函数 即成本函数
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将 其代 入目标 函数得: wx ( w, y ) = c ( w , y )
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3.2 条件要素需求函数和成本函数
? 应用

里昂惕夫(Leontief)技术

令 : f ( x1 , x 2 ) = min {ax1 , bx 2 } 则有最 优解 : ax1 = bx 2 = y y x = , a
* 1

y x = b
* 2 *

y y ? c ( w , y ) = w ? x = w1 ? + w 2 ? a b
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3.2 条件要素需求函数和成本函数
? 应用

线性技术
令 : f ( x1 , x 2 ) = ax1 + bx 2 y ? ?y 则 : c ( w , y ) = min ? w1 , w 2 ? b ?a ? 设 : a : b = 1:1 则 : c ( w , y ) = min { w1 , w 2 } ? y
* 当 w 1 < w 2 时 , 则 : x1 = y, * = 0, 当 w 1 > w 2 时 , 则 : x1 * x2 = 0, c ( w , y ) = w1 y * = y , c( w , y ) = w2 y x2

* * > 0, x 2 > 0, 满足 f ( x * ) = y 当 w 1 = w 2 时 , 则 : x1
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3.2 条件要素需求函数和成本函数
一、条件要素需求函数x(w,y)性质:比较静态分析 1、考虑两种投入、一种产出的成本最小化模型 ? 模型及推导 n=2
Min
x1 , x2

w1 x1 + w2 x2 f ( x1 , x2 ) = y

s.t .

?f ( x1 ( w, y ), x2 ( w, y )) ? =0 ? w1 ? λ ( w, y ) ?x1 ? ? ?f ( x1 ( w, y ), x2 ( w, y )) 在最优解上FOC为 : ? w2 ? λ ( w, y ) =0 ?x2 ? ? f ( x ( w, y ), x ( w, y )) = y 1 2 ? 2011-11-23 ?

3.2 条件要素需求函数和成本函数
1、考虑两种投入、一种产出的成本最小化模型 ? 模型及推导 以上方程分别对w1求导,有 ? ?x1 ?x2 ?λ + f12 ) ? f1 =0 ?1 ? λ ( f11 ?w1 ?w1 ?w1 ? ? ?x1 ?x 2 ?λ ? + f 22 ) ? f2 =0 ? 0 ? λ ( f 21 ?w1 ?w1 ?w1 ? ? ?x1 ?x 2 ? f1 ? f2 =0 ? ?w1 ?w1 ? ?
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3.2 条件要素需求函数和成本函数
1、考虑两种投入、一种产出的成本最小化模型
? 模型及推导
? ?x1 ? ?w1 ? ? ? λ f 1 1 ? λ f 12 ? f 1 ? ? ? ? ?x2 ? ? λ f 21 ? λ f 2 2 ? f 2 ? ? ? w 1 ?? f ?? f 0 ? 1 2 ? ?? λ ? ? ? ?w 1 ? 根据克莱姆法则,求得 : ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? = 0 ? ? ? ? ? 0? ? ? ? ? ? ?

( ? 1)( ? 1) 1 + 1 ( ? f 22 ) f 22 ? x1 = = ? < 0 ?w1 λ H ?λ H f1 f 2 ?x2 ( ? 1)( ? 1) 1 + 2 ( ? f 1 f 2 ) = = > 0 2011-11-23 ?w1 ?λ H λ H
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3.2 条件要素需求函数和成本函数
? 由此,可得条件要素需求函数的性质

第一, ? x1 < 0 ,表示条件要素需求曲线向右下 ? w1 方倾斜。 ?x1 ?x2 <, 0 两要素之间是替代关系 > 0且 第二, ?w ?w1 1 (当n=2时)。 第三,类似地,可以有 2 表示两要素的交叉替代 于是, ? x1 = ? x, ? w 2 ? w1 效应相等。
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? x1 f1 f 2 = > 0 ?w2 λ H

3.2 条件要素需求函数和成本函数
一、条件要素需求函数的性质:比较静态分析 2、推广:考虑n>2种投入、一种产出的利润最大 化模型 ? 模型及推导
? w ? λ ( w ) Df ( x ( w )) = 0 在最优解上FOC 为 : ? ? f ( x ( w )) = y 求关于w的偏导, 有 : ? I ? λ ( w ) D 2 f ( x ( w )) ? Dx ( w ) ? Df ( x ( w )) ? Dλ ( w ) = 0 ? =0 Df ( x ( w )) ? Dx ( w ) ?
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3.2 条件要素需求函数和成本函数
一、条件要素需求函数的比较静态分析 2、推广:考虑n>2种投入、一种产出的利润最大 化模型 ? 模型及推导
整理 , 有 : ? λ D 2 f ( x ) Df ( x )T ? ? Dx ( w ) ? ? I ? ? ?? ?=? ? 0 ? Df ( x ) ? ? Dλ ( w ) ? ? 0 ? ? Dx( w ) ? ? λ D f ( x ) Df ( x ) ? ? I ? ?? ? ? ? ?=? 0 ? Dλ ( w ) ? ? Df ( x ) ? ?0? ? Dx ( w )是对称的负定的矩阵
2 T
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?1

3.2 条件要素需求函数和成本函数
一、条件要素需求函数的性质:比较静态分析 2、推广:考虑n>2种投入、一种产出的利润最 大化模型 ? 结论: 替代矩阵Dx(w)是一个对称的、负定矩阵。
?x j ?x i 对称性 : = ?w j ?w i ?x i 负定性 : <0 ?w i
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3.2 条件要素需求函数和成本函数
二、成本函数

成本函数的定义: c( w , y ) = Min wx s .t . f ( x ) = y

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3.2 条件要素需求函数和成本函数
二、成本函数 1、成本函数的性质 ? 性质1 c(w,y)是关于w的非减函数。
i .e 如果 w ' ≥ w , 则 : c( w ' , y ) ≥ c( w , y ) 证明 : Q w' ≥ w ∴ w ' x ' ≥ wx ' 且对于给定的w , y , 我们有 : wx ' ≥ wx ? w ' x ' ≥ wx 即 : c( w ' , y ) ≥ c ( w , y )
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3.2 条件要素需求函数和成本函数
? 性质2

c(w,y)是关于w的一次齐次函数。
i .e c ( tw , y ) = tc ( w , y ), ? t > 0 证明 : 若此性质 成 立 ,则意 味着对 于 w 和 tw,最 优解都是 x。 反证法 。 如果 x 是 w 时 的最 优解 , 但 不 是 tw 时 的最 优解 , 且令 x ' 是 tw 时 的最 优解 , 则有 : tw ? x ' ≤ tw ? x w ? x' ≤ w ? x ? x 不 是 w 时 的最 优解 。 矛盾 。
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3.2 条件要素需求函数和成本函数
? 性质3

c(w,y)是关于w的凹函数。
i .e c( tw + (1 ? t ) w ' , y ) ≥ tc( w , y ) + (1 ? t )c ( w ' , y ) ?w , w ' 0≤ t ≤1

?经济含义:惰性成本曲线的运用

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3.2 条件要素需求函数和成本函数
? 性质3

c(w,y)是关于w的凹函数。 ?经济含义:惰性成本曲线的运用
图示:(仅考虑一种要素价格发生变化) 凹性成本函数c( w , y ):
* * , 最优选择为x1 当w1 = w1 时,有相应的c( w ? , y )。

如凹性成本函数曲线上的A点。 惰性成本函数:
* * 当w1 ≠ w1 时,厂商由于惰性,继续使用x1 , * 则有惰性成本函数 c = w1 ? x1 + ∑ wi* xi*
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n

i =2

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3.2 条件要素需求函数和成本函数
? 性质3

c(w,y)是关于w的凹函数。 证明:
令 : ( w , x ),( w ' , x ' ), 且w " = tw + (1 ? t ) w ' 于是, 有 : c( w " , y ) = w " x " = twx " + (1 ? t ) w ' x " 对于w , y , 有 : wx " ≥ c( w , y ) ? twx " ≥ tc( w , y ) 对于w ' , y , 有 : w ' x " ≥ c( w ' , y ) ? (1 ? t )w ' x " ≥ (1 ? t )c( w ' , y ) 相加 ? c( w " , y ) ≥ tc( w , y ) + (1 ? t )c( w ' , y )
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3.2 条件要素需求函数和成本函数
2、由成本函数到条件要素需求函数: ? 谢泼德引理 (Shepherd’s lemma)

?c ( w, y ) = xi ( w , y ) ?wi

i =1,2,L n

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? 谢泼德引理 (Shepherd’s lemma)

证明一:由g(w)函数在最优点的FOC出发

设w?时成本最小化的要素组合为x?。且定义函数 g( w ) = c( w, y ) ? wx? 显然,g(?)在w?时达极大值为0,相应的g( w? )极值的 FOC 为: ?g( w? ) ?c( w? , y ) = ? xi ? = 0 ?wi ?wi ?c( w? , y ) ? = xi i = 1, 2L n 于是有, ?wi
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3.2 条件要素需求函数和成本函数
2、由成本函数到条件要素需求函数: ? 谢泼德引理 (Shepherd’s lemma)
? 证明二:包络定理和谢泼德引理

c ( w , y ) = m in

w?x

s .t f (x) = y L ( x , λ ) = w x + λ ( y ? f ( x )) 由 包 络 定 理 ,有 : ?c( w , y ) = xi ?w i
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x= x(w,y)

= xi (w , y)

?c( w , y ) = λ ?y

λ =λ (w , y)

= λ (w , y)
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3.2 条件要素需求函数和成本函数
3、利用成本函数的比较静态分析:由成本函数 的性质到条件要素需求函数的性质 ? 出发点:利用谢泼德引理 ? 第一,关于成本函数是w的非递减函数。
?c ( w , y ) = xi ( w , y ) ≥ o ?w i

条件要素投入是非负的。

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3.2 条件要素需求函数和成本函数
? 第二,关于成本函数是w的一次齐次函数。

条件要素需求函数是w的零 次齐次函数。
x ( tw , y ) = x ( w , y )
? 第三,关于成本函数是为w凹函数。

条件要素需求函数的替代矩阵是 对称的、半负定矩阵。
?xi ?x j = , ?w j ?wi
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?xi ≤0 ?w i
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